x in (0, pi/2) માટે int_{0}^{sin^2 x} sin^{-1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I(x) = \int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે લે

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I(x) = \int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) + \cos^{-1}(\sqrt{\cos^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^2 x)$. $x \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$\sin x > 0$ અને $\cos x > 0$,તેથી $\sqrt{\sin^2 x} = \sin x$ અને $\sqrt{\cos^2 x} = \cos x$. $I'(x) = (x) \cdot (2 \sin x \cos x) + (x) \cdot (-2 \cos x \sin x)$. $I'(x) = x \sin(2x) - x \sin(2x) = 0$. વિકલન $0$ હોવાથી,$I(x)$ એક અચળ છે. અચળ કિંમત શોધવા માટે $x = \pi/4$ મૂકતા: $I(\pi/4) = \int_{0}^{1/2} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{1/2} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. નિત્યસમ $\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t} = \pi/2$ નો ઉપયોગ કરતા: $I(\pi/4) = \int_{0}^{1/2} (\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t}) \, dt = \int_{0}^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_{0}^{1/2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$.

$x \in (0, \pi/2)$ માટે $\int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $I_{n+1} = \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1} - 1}{x + 1} dx$ હોય,તો $I_{10} + I_{11} + 2 \log 2$ ની કિંમત શું થાય?

$\int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx = $

$\int_0^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{4 + 3\sin x}}{{4 + 3\cos x}}} \right)} \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ હોય,તો

સંકલન $\int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module